\documentclass[handout]{slide}



\renewcommand{\mytitle}{第十一章\quad 曲线积分与曲面积分}
\renewcommand{\mysubtitle}{第五节\quad 对坐标的曲面积分}
\graphicspath{{./images}}

\begin{document}


\section{对坐标的曲面积分的概念与性质}
\begin{frame}{对坐标的曲面积分的概念与性质}

  我们对曲面作一些说明，这里假定曲面是光滑的。
通常我们遇到的曲面都是双侧的。 
\pause
例如由方程 $z=z(x, y)$ 表示的曲面， 有上侧与下侧之分%
\footnote{按惯例， 这里假定 $z$ 轴铅直向上。};
\pause
又例如，一张包围某一空间区域的闭曲面， 有\emph{外侧}与\emph{内侧}之分。 
\pause
以后我们总假定所考虑的曲面是双侧的。

\pause
在讨论对坐标的曲面积分时， 需要指定曲面的侧。 我们可以通过曲面上法向量的方向来定出曲面的侧。 
\pause
例如， 对于曲面 $z=z(x, y)$, 如果取它的法向量 $\symbf{n}$ 的方向朝上， 我们就认为取定曲面的上侧; 
\pause
又如， 对于闭曲面如果取它的法向量的方向朝外， 我们就认为取定曲面的外侧。 
\pause
这种取定了法向量亦即选定了侧的曲面， 就称为\emph{有向曲面}。


\pause
设 $\Sigma$ 是有向曲面。
\pause
在 $\Sigma$ 上取一小块曲面 $\Delta S$, 把 $\Delta S$ 投影到 $x O y$ 面上得一投影区域，这投影区域的面积记为 $(\Delta \sigma)_{x y}$. 
\pause
假定 $\Delta S$ 上各点处的法向量与 $z$ 轴的夹角 $\gamma$ 的余弦 $\cos \gamma$ 有相同的符号 (即 $\cos \gamma$ 都是正的或都是负的). 
\pause
我们规定 $\Delta S$ 在 $x O y$ 面上的投影 $(\Delta S)_{x y}$ 为
\[
(\Delta S)_{x y}= \begin{cases}(\Delta \sigma)_{x y}, & \cos \gamma>0, \\ -(\Delta \sigma)_{x y}, & \cos \gamma<0, \\ 0, & \cos \gamma \equiv 0 .\end{cases}
\]
其中 $\cos \gamma \equiv 0$ 也就是 $(\Delta \sigma)_{x y}=0$ 的情形。
\pause
$\Delta S$ 在 $x O y$ 面上的投影 $(\Delta S)_{x y}$ 实际就是 $\Delta S$ 在 $x O y$ 面上的投影区域的面积附以一定的正负号。
\pause
类似地可以定义 $\Delta S$ 在 $y O z$ 面及 $z O x$ 面上的投影 $(\Delta S)_{y z}$ 及 $(\Delta S)_{z x}$.
\end{frame}

\begin{frame}{流向曲面一侧的流量}
下面讨论一个例子， 然后引进对坐标的曲面积分的概念。

\pause
 设稳定流动\footnote{所谓稳定流动， 就是说流速与时间 $t$ 无关。}%
的不可压缩流体 (假定密度为 $1$) 的速度场由
\[
\symbf{v}(x, y, z)=P(x, y, z) \symbf{i}+Q(x, y, z) \symbf{j}+R(x, y, z) \symbf{k}
\]
给出， $\Sigma$ 是速度场中的一片有向曲面， 函数 $P(x, y, z), Q(x, y, z)$ 与 $R(x, y, z)$ 都在 $\Sigma$ 上连续，求在单位时间内流向 $\Sigma$ 指定侧的流体的质量， 即流量 $\Phi$.

\pause
如果流体流过平面上面积为 $A$ 的一个闭区域，且流体在这闭区域上各点处的流速为 (常向量) $\symbf{v}$, 又设 $\symbf{n}$ 为该平面的单位法向量 (图 11-22(a)), 那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为 $A$ 、斜高为 $|\symbf{v}|$ 的斜柱体(图11-22(b)).
\begin{figure}
  \begin{subfigure}{.2\textwidth}
    \includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-36(2)}
  \caption*{(a)}
\end{subfigure}
\hskip 5em
\begin{subfigure}{.2\textwidth}
\includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-36}
\caption*{(b)}
\end{subfigure}
\caption*{图 11-22}
\end{figure}
\end{frame}


\begin{frame}
  当 $(\widehat{\symbf{v}, \symbf{n}})=\theta<\frac{\pi}{2}$ 时， 斜柱体的体积为
\[
A|\symbf{v}| \cos \theta=A \symbf{v} \cdot \symbf{n} .
\]
这也就是通过闭区域 $A$ 流向 $\symbf{n}$ 所指一侧的流量 $\Phi$;

\pause
当 $(\widehat{\symbf{v}, \symbf{n}})=\frac{\pi}{2}$ 时， 显然流体通过闭区域 $A$ 流向 $\symbf{n}$ 所指一侧的流量 $\Phi$ 为零， 而 $A \symbf{v}$.
$\symbf{n}=0$, 故 $\Phi=A \symbf{v} \cdot \symbf{n}=0$;

\pause
当 $(\widehat{\symbf{v}, \symbf{n}})>\frac{\pi}{2}$ 时， $A \symbf{v} \cdot \symbf{n}<0$, 这时我们仍把 $A \symbf{v} \cdot \symbf{n}$ 称为流体通过闭区域 $A$ 流向 $\symbf{n}$ 所指一侧的流量， 它表示流体通过闭区域 $A$ 实际上流向 $-\symbf{n}$ 所指一侧， 且流向 $-\symbf{n}$ 所指一侧的流量为 $-A \symbf{v} \cdot \symbf{n}$. 

\pause
因此， 不论 $(\widehat{\symbf{v}, \symbf{n}})$ 为何值， 流体通过闭区域 $A$ 流向 $\symbf{n}$ 所指一侧的流量 $\Phi$ 均为 $A \symbf{v} \cdot \symbf{n}$.

\pause
由于现在所考虑的不是平面闭区域而是一片曲面，且流速 $\symbf{v}$ 也不是常向量，因此所求流量不能直接用上述方法计算。然而过去在引出各类积分概念的例子中一再使用过的方法，也可用来解决目前的问题。

\pause
把曲面 $\Sigma$ 分成 $n$ 小块 $\Delta S_{i}$ ( $\Delta S_{i}$ 同时也代表第 $i$ 小块曲面的面积). 
\pause
在 $\Sigma$ 是光滑的和 $v$ 是连续的前提下， 只要 $\Delta S_{i}$ 的直径很小， 我们就可以用 $\Delta S_{i}$ 上任一点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)$ 处的流速
\[
\symbf{v}_{i}=\symbf{v}\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)=P\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) i+Q\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) j+R\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) k
\]
代替 $\Delta S_{i}$ 上其他各点处的流速， 以该点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)$处曲面 $\Sigma$ 的单位法向量
\[
\symbf{n}_{i}=\cos \alpha_{i} i+\cos \beta_{i} \symbf{j}+\cos \gamma_{i} k
\]
代替 $\Delta S_{i}$ 上其他各点处的单位法向量 (图 11-23).
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-36(1)}
    \caption*{图 11-23}
    \pause
  \end{wrapfigure}
 从而得到通过 $\Delta S_{i}$ 流向指定侧的流量的近似值为
\[
\symbf{v}_{i} \cdot \symbf{n}_{i} \Delta S_{i} \quad(i=1,2, \cdots, n) .
\]
\pause
于是， 通过 $\Sigma$ 流向指定侧的流量
\[
  \begin{aligned}
  \Phi & \approx \sum_{i=1}^{n} \symbf{v}_{i} \cdot \symbf{n}_{i} \Delta S_{i} \\
& =\sum_{i=1}^{n}\left[P\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \cos \alpha_{i}+Q\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \cos \beta_{i}+R\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \cos \gamma_{i}\right] \Delta S_{i},
\end{aligned}
\]
\pause
但
\[
\cos \alpha_{i} \cdot \Delta S_{i} \approx\left(\Delta S_{i}\right)_{y z}, \quad \cos \beta_{i} \cdot \Delta S_{i} \approx\left(\Delta S_{i}\right)_{z x}, \quad \cos \gamma_{i} \cdot \Delta S_{i} \approx\left(\Delta S_{i}\right)_{x y},
\]
\pause
因此上式可以写成
\[
\Phi \approx \sum_{i=1}^{n}\left[P\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)\left(\Delta S_{i}\right)_{y z}+Q\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)\left(\Delta S_{i}\right)_{z x}+R\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)\left(\Delta S_{i}\right)_{x y}\right] .
\]
\pause
当各小块曲面的直径的最大值 $\lambda \rightarrow 0$ 取上述和的极限， 就得到流量 $\Phi$ 的精确值。 这样的极限还会在其他问题中遇到。 抽去它们的具体意义，就得出下列对坐标的曲面积分的概念：
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{definition*}
    设 $\Sigma$ 为光滑的有向曲面， 函数 $R(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上有界。 
\pause
    把 $\Sigma$ 任意分成 $n$ 块小曲面 $\Delta S_{i}$ ( $\Delta S_{i}$ 同时又表示第 $i$ 块小曲面的面积), $\Delta S_{i}$ 在 $x O y$ 面上的投影为 $\left(\Delta S_{i}\right)_{x y}$, $\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)$ 是 $\Delta S_{i}$ 上任意取定的一点， 作乘积 $R\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)\left(\Delta S_{i}\right)_{x y}(i=1,2, \cdots, n)$, 并作和 $\sum_{i=1}^{n} R\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)\left(\Delta S_{i}\right)_{x y}$, 
\pause
    如果当各小块曲面的直径的最大值 $\lambda \rightarrow 0$ 时， 这和的极限总存在， 且与曲面 $\Sigma$ 的分法及点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)$ 的取法无关， 那么称此极限为函数 $R(x, y, z)$ 在有向曲面 $\Sigma$ 上\emph{对坐标 $x, y$ 的曲面积分}， 
\pause
    记作 $\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 
\pause
    即
  \[
  \iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} R\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)\left(\Delta S_{i}\right)_{x y}
\]
其中 $R(x, y, z)$ 叫做\emph{被积函数}， $\Sigma$ 叫做\emph{积分曲面}。

\pause
类似地可以定义函数 $P(x, y, z)$ 在有向曲面 $\Sigma$ 上\emph{对坐标 $y, z$ 的曲面积分} $\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z$ 及函数 $Q(x, y, z)$ 在有向曲面 $\Sigma$ 上\emph{对坐标 $z, x$ 的曲面积分} $\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x$ 分别为
\[
  \begin{aligned}
    & \iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} P\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)\left(\Delta S_{i}\right)_{y z}, \\
  & \iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} Q\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)\left(\Delta S_{i}\right)_{z x} .
\end{aligned}
\]
\end{definition*}
\pause
以上三个曲面积分也称为\emph{第二类曲面积分}。
\end{frame}

\begin{frame}
我们指出， 当 $P(x, y, z), Q(x, y, z)$ 与 $R(x, y, z)$ 在有向光滑曲面 $\Sigma$ 上连续时， 对坐标的曲面积分是存在的， 以后总假定 $P, Q$ 与 $R$ 在 $\Sigma$ 上连续。

\pause
在应用上出现较多的是
\[
\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
\]
这种合并起来的形式。 
\pause
为简便起见，我们把它写成
\[
\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\]

\pause
例如， 上述流向 $\Sigma$ 指定侧的流量 $\Phi$ 可表示为
\[
\Phi=\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\]

\pause
如果 $\Sigma$ 是分片光滑的有向曲面， 我们规定函数在 $\Sigma$ 上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和。
\end{frame}

\begin{frame}
对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分相类似的一些性质。例如：
\pause
\begin{proposition*}[对坐标的曲面积分的性质]
如果把 $\Sigma$ 分成 $\Sigma_{1}$ 和 $\Sigma_{2}$, 那么
\[\tag{5-1}
  \begin{aligned}
    & \iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
  = & \iint_{\Sigma_{1}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\iint_{\Sigma_{2}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
\end{aligned}
\]
\end{proposition*}
\pause
公式(5-1) 可以推广到 $\Sigma$ 分成 $\Sigma_{1}, \Sigma_{2}, \cdots, \Sigma_{n}$ 几部分的情形。
\pause
\begin{proposition*}[对坐标的曲面积分的性质]
设 $\Sigma$ 是有向曲面， $\Sigma^{-}$表示与 $\Sigma$ 取相反侧的有向曲面， 则
\[\tag{5-2}
  \begin{aligned}
    & \iint_{\Sigma^{-}} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=-\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z, \\
  & \iint_{\Sigma^{-}} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x=-\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x, \\
& \iint_{\Sigma^{-}} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\end{aligned}
\]
\end{proposition*}
\pause
(5-2)式表示， 当积分曲面改变为相反侧时，对坐标的曲面积分要改变符号。 因此
关于对坐标的曲面积分， 我们必须注意积分曲面所取的侧。
这些性质的证明从略。
\end{frame}


\section{对坐标的曲面积分的计算法}

\begin{frame}{对坐标的曲面积分的计算法}

设积分曲面 $\Sigma$ 是由方程 $z=z(x, y)$ 所给出的曲面上侧， $\Sigma$ 在 $x O y$ 面上的投影区域为 $D_{x y}$, 函数 $z=z(x, y)$ 在 $D_{x y}$ 上具有一阶连续偏导数， 被积函数 $R(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连续。

\pause
按对坐标的曲面积分的定义，有
\[
  \iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} R\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)\left(\Delta S_{i}\right)_{x y}.
\]
\pause
因为 $\Sigma$ 取上侧， $\cos \gamma>0$, 所以
$%\[
\left(\Delta S_{i}\right)_{x y}=\left(\Delta \sigma_{i}\right)_{x y}.
$%\]
\pause
又因 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)$ 是 $\Sigma$ 上的一点， 故 $\zeta_{i}=z\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$. 从而有
\[
  \sum_{i=1}^{n} R\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)\left(\Delta S_{i}\right)_{x y}=\sum_{i=1}^{n} R\left[\xi_{i}, \eta_{i}, z\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)\right]\left(\Delta \sigma_{i}\right)_{x y}.
\]
\pause
令各小块曲面的直径的最大值 $\lambda \rightarrow 0$ 取上式两端的极限， 就得到
\[\tag{5-3}
\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x y}} R[x, y, z(x, y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\]
\pause
这就是把对坐标的曲面积分化为二重积分的公式。 
\pause
公式 (5-3) 表明， 计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 时， 只需将其中变量 $z$ 换为表示 $\Sigma$ 的函数 $z(x, y)$, 然后在 $\Sigma$ 的投影区域 $D_{x y}$ 上计算二重积分即可。
\end{frame}

\begin{frame}
必须注意， 公式 (5-3) 的曲面积分是取在曲面 $\Sigma$ 上侧的， 如果曲面积分取在 $\Sigma$ 的下侧， 这时 $\cos \gamma<0$, 那么
\[
\left(\Delta S_{i}\right)_{x y}=-\left(\Delta \sigma_{i}\right)_{x y}
\]
从而有
\[\tag{5-3'}
\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{x y}} R[x, y, z(x, y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\]

\pause
类似地，如果 $\Sigma$ 由 $x=x(y, z)$ 给出，那么有
\[\tag{5-4}
\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z= \pm \iint_{D_{y z}} P[x(y, z), y, z] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z,
\]
\pause
等式右端的符号这样决定： 
\pause
积分曲面 $\Sigma$ 是由方程 $x=x(y, z)$ 所给出的曲面前侧， 即 $\cos \alpha>0$, 应取正号; 
\pause
反之， $\Sigma$ 取后侧， 即 $\cos \alpha<0$, 应取负号。

\pause
如果 $\Sigma$ 由 $y=y(z, x)$ 给出，那么有
\[\tag{5-5}
\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x= \pm \iint_{D_{z z}} Q[x, y(z, x), z] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x,
\]
\pause
等式右端的符号这样决定： 积分曲面 $\Sigma$ 是由方程 $y=y(z, x)$ 所给出的曲面右侧， 即 $\cos \beta>0$, 应取正号; 反之， $\Sigma$ 取左侧， 即 $\cos \beta<0$, 应取负号。
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  计算曲面积分
  \[
  \iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
\]
其中 $\Sigma$ 是长方体 $\Omega$ 的整个表面的外侧， $\Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant b, 0 \leqslant z \leqslant c\}$.
\end{example}
\pause
\begin{solution}
把有向曲面 $\Sigma$ 分成以下六部分：
\[
  \begin{aligned}
    & \Sigma_{1}: z=c\; (0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant b) \text {~的上侧， } \\
  & \Sigma_{2}: z=0\; (0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant b) \text {~的下侧， } \\
& \Sigma_{3}: x=a\; (0 \leqslant y \leqslant b, 0 \leqslant z \leqslant c) \text {~的前侧， } \\
& \Sigma_{4}: x=0\; (0 \leqslant y \leqslant b, 0 \leqslant z \leqslant c) \text {~的后侧， } \\
& \Sigma_{5}: y=b\; (0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant z \leqslant c) \text {~的右侧， } \\
& \Sigma_{6}: y=0\; (0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant z \leqslant c) \text {~的左侧。 }
\end{aligned}
\]
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution}[续]
  除 $\Sigma_{3}, \Sigma_{4}$ 外， 其余四片曲面在 $y O z$ 面上的投影为零， 因此
  \[
  \iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma_{3}} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\iint_{\Sigma_{4}} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z .
\]
应用公式(5-4) 就有
\[
\iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{D_{y z}} a^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-\iint_{D_{y z}} 0^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=a^{2} b c .
\]
类似地可得
\[
\iint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=b^{2} a c, \iint_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=c^{2} a b .
\]
于是所求曲面积分为 $(a+b+c) a b c$.
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $\Sigma$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+$ $z^{2}=1$ 外侧在 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 的部分。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[max width=.28\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-40}
    \caption*{图 11-24}
    \pause
\end{wrapfigure}

把 $\Sigma$ 分为 $\Sigma_{1}$ 和 $\Sigma_{2}$ 两部分 (图 11-24)， $\Sigma_{1}$ 的方程为
\[
  z_{1}=-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}},
\]
$\Sigma_{2}$ 的方程为
\[
  \begin{aligned}
    z_{2}= & \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\\
  &= \iint_{\Sigma_{2}} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\iint_{\Sigma_{1}} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
\end{aligned}
\]
\end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{solution}[续]
    上式右端的第一个积分的积分曲面 $\Sigma_{2}$ 取上侧， 第二个积分的积分曲面 $\Sigma_{1}$ 取下侧， 因此分别应用公式 (5-3) 及 (5-3'), 就有
  \[
    \begin{aligned}
      \iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\iint_{D_{x y}} x y \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y-\iint_{D_{x y}} x y\left(-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
    & =2 \iint_{D_{x y}} x y \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
\end{aligned}
\]
其中 $D_{x y}$ 是 $\Sigma_{1}$ 及 $\Sigma_{2}$ 在 $x O y$ 面上的投影区域， 就是位于第一象限内的扇形 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ $(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$. 利用极坐标计算这个二重积分如下：
\[
  \begin{aligned}
    2 \iint_{D_{x y}} x y \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =2 \iint_{D_{x y}} \rho^{2} \sin \theta \cos \theta \sqrt{1-\rho^{2}} \rho \mathrm{d} \rho \mathrm{d} \theta \\
  & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 \theta \mathrm{d} \theta \int_{0}^{1} \rho^{3} \sqrt{1-\rho^{2}} \mathrm{~d} \rho=1 \times \frac{2}{15}=\frac{2}{15},
\end{aligned}
\]
从而
\[
  \iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{2}{15}.
\]
\end{solution}
\end{frame}

\section{两类曲面积分之间的联系}

\begin{frame}{两类曲面积分之间的联系}
设有向曲面 $\Sigma$ 由方程 $z=z(x, y)$ 给出， $\Sigma$ 在 $x O y$ 面上的投影区域为 $D_{x y}$, 函数 $z=$ $z(x, y)$ 在 $D_{x y}$ 上具有一阶连续偏导数， $R(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连续。 
\pause
如果 $\Sigma$ 取上侧， 那么由对坐标的曲面积分计算公式(5-3) 有
\[
\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x y}} R[x, y, z(x, y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\]

\pause
另一方面，因上述有向曲面 $\Sigma$ 的法向量的方向余弦为
\[
  \cos \alpha=\frac{-z_{x}}{\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}, \quad \cos \beta=\frac{-z_{y}}{\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}, \quad \cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}.
\]
\pause
故由对面积的曲面积分计算公式有
\[
\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \cos \gamma \mathrm{d} S=\iint_{D_{x y}} R[x, y, z(x, y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\]
\pause
由此可见，有
\[\tag{5-6}
\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \cos \gamma \mathrm{d} S .
\]

\end{frame}

\begin{frame}

如果 $\Sigma$ 取下侧，那么由式 (5-3') 有
\[
\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{x y}} R[x, y, z(x, y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\]
\pause
但这时 $\cos \gamma=\frac{-1}{\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}$, 因此 (5-6) 式仍成立。

~

\pause
类似地可推得
\begin{align}
& \iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \cos \alpha \mathrm{d} S,\tag{5-7} \\
& \iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x=\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \cos \beta \mathrm{d} S . \tag{5-8}
\end{align}

~


\pause
合并 (5-6)、(5-7)、(5-8) 三式，得两类曲面积分之间的如下联系：
\[\tag{5-9}
\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} S,
\]
其中 $\cos \alpha, \cos \beta$ 与 $\cos \gamma$ 是有向曲面 $\Sigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的法向量的方向余弦。

\end{frame}

\begin{frame}
两类曲面积分之间的联系也可写成如下的向量形式：
\[\tag{5-10}
\iint_{\Sigma} \symbf{A} \cdot \mathrm{d} \symbf{S}=\iint_{\Sigma} \symbf{A} \cdot \symbf{n} \mathrm{d} S
\]
或
\pause
\[\tag{5-10'}
  \iint_{\Sigma} \symbf{A} \cdot \mathrm{d} \symbf{S}=\iint_{\Sigma} \symbf{A}_{\symbf{n}} \mathrm{~d} S
\]
\pause
其中 $\symbf{A}=(P, Q, R), \symbf{n}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为有向曲面 $\Sigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的单位法向量， 
$\mathrm{d} \symbf{S}=\symbf{n} \mathrm{d} S=(\mathrm{d} y \mathrm{~d} z, \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y)$ 称为\emph{有向曲面元}， 
$\symbf{A}_{\symbf{n}}$ 为向量 $\symbf{A}$ 在向量 $\symbf{n}$ 上的投影。

~

\pause
利用上述第一、二类曲面积分之间的关系，我们也可实现对不同的坐标的曲面积分间转换。
\pause
  给定有向光滑曲面$\Sigma$, 设$\symbf{n}=(\cos\alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$是其单位法向量场，$P(x,y,z)$是$\Sigma$上的连续函数。
  \pause
  如果$\cos \gamma$在$\Sigma$上处处不消失（即$\cos \gamma$处处非零，例如曲面$\Sigma$由某个$z=z(x,y)$定义时），那么利用两类曲面积分之间的联系 (5-9), 我们有
  \[\tag{5-11}
    \iint_{\Sigma} P(x,y,z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma}P(x,y,z)\cos \alpha \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma}P(x,y,z) \frac{\cos \alpha}{\cos \gamma} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
  \]
  \pause
  这样我们将对坐标 $y, z$ 的曲面积分转化为了对坐标 $x, y$ 的曲面积分。
  \pause
例如曲面$\Sigma$由$z=z(x,y)$定义时，这样的转换可能便于计算。
\pause
  类似地，我们也有其他的对不同的坐标的曲面积分间转换的公式。

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  计算曲面积分 $\iint_{\Sigma}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $\Sigma$ 是旋转抛物面 $z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 介于平面 $z=0$ 及 $z=2$ 之间的部分的下侧。
\end{example}
\pause
\begin{solution*}[解法一]
把$\Sigma$分为$\Sigma_{\text{前}}, \Sigma_{\text{后}}$两部分，
它们在$yOz$面上的投影区域为$D_{yz}$,
\[
  \begin{aligned}
    & \iint_{\Sigma}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma_{\text {前 }}}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\iint_{\Sigma_{\text {后 }}}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z \\
  &=\iint_{D_{y z}}\left(z^{2}+\sqrt{2 z-y^{2}}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-\iint_{D_{y z}}\left(z^{2}-\sqrt{2 z-y^{2}}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z \\
&=2 \iint_{D_{y z}} \sqrt{2 z-y^{2}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \int_{-2}^{2} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{2} y^{2}}^{2} \sqrt{2 z-y^{2}} \mathrm{~d} z=4 \pi . \\
& \iint_{\Sigma} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{x y}} \frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2} \frac{1}{2} \rho^{2} \cdot \rho \mathrm{d} \rho=-4 \pi .
\end{aligned}
\]
故
\[
\iint_{\Sigma}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=4 \pi-(-4 \pi)=8 \pi .
\]
\end{solution*}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution*}[解法二]
曲面 $\Sigma$ 的单位法向量场为
\[
  (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)=(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}, \frac{y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}, \frac{-1}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}).
\]
应用公式 (5-11) 我们有
    %\[
    %\iint_{\Sigma}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z = \iint_{\Sigma}\left(z^{2}+x\right) \frac{\cos \alpha}{\cos \gamma} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
%\]
%故
\[
\begin{aligned}
\iint_{\Sigma}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y&= \iint_{\Sigma}\left[\left(z^{2}+x\right)(-x)-z\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\\
&= -\iint_{D_{x y}}\left\{\left[\frac{1}{4}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+x\right] \cdot(-x)-\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\end{aligned}
\]
利用积分区域及被积函数的对称性可知
\[
\iint_{D_{x y}} \frac{1}{4} x\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0
\]
故
\[
  \begin{aligned}
    \iint_{\Sigma}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\iint_{D_{x y}}\left[x^{2}+\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
  & =\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2}\left(\rho^{2} \cos ^{2} \theta+\frac{1}{2} \rho^{2}\right) \rho \mathrm{d} \rho=8 \pi .
\end{aligned}
\]
\end{solution*}
\end{frame}


\end{document}
